Download e-book for kindle: Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, by Manfred Dobrowolski

By Manfred Dobrowolski

ISBN-10: 3540253955

ISBN-13: 9783540253952

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen S?tze n?her gebracht, die f?r die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausf?hrlich die Sobolevschen Funktionenr?ume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularit?tstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgf?ltig ausgew?hlte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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M Im folgenden setzen wir C m,0 = C m und haben damit die C m,α -R¨ aume f¨ ur alle m ∈ 0 und 0 ≤ α ≤ 1 erkl¨art. 41. C m,α (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm · C m,α . Beweis. Die Normaxiome k¨ onnen unmittelbar nachgewiesen werden. ur |γ| ≤ m Sei (uk )k∈ eine Cauchy-Folge in C m,α (Ω). Dann ist (D γ uk ) f¨ eine Cauchy-Folge bez¨ uglich der Norm · ∞ und besitzt eine stetige und beschr¨ankte Grenzfunktion uγ . Die gleichm¨ aßige Stetigkeit von uγ folgt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz durch Standardargumente.

M Im folgenden setzen wir C m,0 = C m und haben damit die C m,α -R¨ aume f¨ ur alle m ∈ 0 und 0 ≤ α ≤ 1 erkl¨art. 41. C m,α (Ω) ist Banach-Raum unter der Norm · C m,α . Beweis. Die Normaxiome k¨ onnen unmittelbar nachgewiesen werden. ur |γ| ≤ m Sei (uk )k∈ eine Cauchy-Folge in C m,α (Ω). Dann ist (D γ uk ) f¨ eine Cauchy-Folge bez¨ uglich der Norm · ∞ und besitzt eine stetige und beschr¨ankte Grenzfunktion uγ . Die gleichm¨ aßige Stetigkeit von uγ folgt aus der gleichm¨aßigen Konvergenz durch Standardargumente.

B) T ist im Nullpunkt stetig. (c) Zu jedem j ∈ J existieren eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I und eine Konstante K mit qj (T x) ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. i∈I0 ¨ Beweis. Die Aquivalenz von (a) und (b) folgt aus der Additivit¨ at von T und der Stetigkeit der Translation. 5) max pi (x) < r ⇒ qj (T x) < 1 ∀x ∈ X. 5 Bidualraum und schwache Topologien 51 Schr¨anken wir dies auf maxi∈I0 pi (x) = ε < r ein, so folgt die behauptete Absch¨atzung mit K = ε−1 f¨ ur diese x. 5), daß qj (T x) = 0. (c)⇒(b): Zu jeder endlichen Indexmenge J0 ⊂ J gibt es eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I und eine Konstante K mit max qj (T x) ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X.

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by Edward
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